闭区间上连续函数的代数多项式逼近 乐山师范学院数学系 林天毅 黄季 胡剑 注：本文为创新基金项目：乐山师范学院科研项目(SXX0823) [摘要]根据内积空间的向量平行理论，引入了一个以未知多项式的系数为自变量的多元函数，称之为Cauchy函数，从此函数得到的线性方程组的解即为逼近函数的系数。本文主要给出了逼近闭区间上连续函数的代数多项式逼近的新算法. 关键词：连续函数 代数多项式 逼近. 2001 MR分类号: 47A62 47A05 中图分类号 O177.1 文献标识码 A 一．引言 函数逼近问题是从绘图学、机械设计等实际需要中提出来的.一些著名数学家,如Euler,Laplace,Fourier等都曾研究过函数的最佳逼近问题.此后，不断有数学家参与研究逼近问题，但最基本最重要的一个定理[1]就是Weierstrass于1885年提出的,因为这条定理保证了闭区间上的任何连续函数都能用多项式以任意给定的精度去逼近.但是没有指出应该如何选择多项式才能逼近得最好.现在函数逼近论已应用到拓扑学、泛函分析、神经网络等各个领域，见文献[2-6].而本文就将采用在内积空间中逼近的方法来给出一个用代数多项式逼近闭区间上连续函数的具体算法. 二．正文 为了便于叙述逼近算法，我们先给出一些定义和引理. 定义1 设 , , 表示闭区间 上的全体连续函数,定义 与 的内积为 = . 定义2 设任意次数不超过 的实系数代数多项式形式为 ，则称 为关于函数 的 Cauchy函数. 定义3 设 , ,若存在一个非零常数 ,使得 ，则称 与 平行(线性相关)，记为 . 注： ，即是 的函数曲线形状和 的函数曲线形状相同， 经过一个纵轴方向的平移可得到 . 创新基金项目：乐山师范学院科研项目(SXX0823) 作者简介：林天毅：男(1987-),四川隆昌人,研究方向:函数论. 引理4 [7](Cauchy-Ьуняковский不等式) 设 ，则 ，当且仅当 与 线性相关时等式成立. 引理5 设 , ,则 . 证：必要性 若 ，即存在一个非零常数 使得 ，则 充分性 由引理1知,若 ，则 与 线性相关，即 . 引理6 在任何闭区间 上，对于任何非代数多项式的连续函数 都不存在一个有限次数的代数多项式 使得 . 证：假设存在一个多项式 使得在某个闭区间 上有 . 设 在 处的Taylor展开式为 由代数多项式相等的充要条件“两个多项式相等当且仅当它们所有同次项的系数都相等”有 ，但这与已知 为非代数多项式相矛盾，故原命题成立. 下面叙述具体的逼近算法. 预先给定 ,且 不为代数多项式.设 ， 可得关于 的Cauchy函数： . 由引理4可知， . 显然，当 ( )时, ,因此原点是 函数的一个最小值点(其实也是唯一的极值点)，在原点处 的各偏导数均为零. 根据定义3，如果 ，等价于存在一个非零常数 使得 ，由引理6可知 不可能成立，所以 不成立.根据引理5， 等价于 ，从而 .前面已得 .因此除原点外，总有 .由此可知，原点是唯一满足 的点.但此时 ( )，得到 .这不是我们期望的 . 由于 是一个连续函数，在原点的充分小邻域内， 函数值与零相差不大.而 函数值是代数多项式与已知函数平行程度大小的度量，其值越接近零，表明两个函数就越平行.因此可在原点的充分小邻域内找出一个点使得在该点处的 函数值接近于零，从而以这个点作为系数的多项式与给定的多项式是“比较”平行的. 对函数 的各个变量 (i=0,1,…,n)分别求一阶偏导数： (i=0,1,...,n) …(1) (1)式说明 的各一阶偏导数在任一点处都连续，从而在原点充分小邻域内的点的各一阶偏导数都接近零，下面就找出这样的一个点. 令 ，且有 联立 (i=0,1,…n) 这n+1个线性方程，解这个线性方程组，可得， , ,…, (其中 是线性方程组的解). 将 , ,…, 代入 ,得 . 即是与 “较为”平行的向量. 取 , 为函数的展开点. 若 ，由 可解出 . 若在展开点 处, ，则在 的充分小邻域内任取一点 ,由 可解出 . 下面给出一个具体例子. 例:给定 ,用次数不超过二次的实系数代数多项式 在[-1,1]上逼近 . 由(1)式可得线性方程组如下： …(2) …(3) …(4) 令(2)=0.01，(3)=0.01，(4)=0.01，联立3个方程求解，解得 从而 被确定下来. 取 ，令 ，解得 令 ，则 即为所求的逼近多项式. 绘制函数 和 的图像如下图所示： 已知 2.7182818 计算 2.6500193 两者差值为0.0682625. 以上计算及绘图均在Mathematica下进行. 参考文献： [1] 徐利治 王仁宏 周蕴时. 函数逼近的理论与方法[M].上海科学技术出版社.1983.05. [2] 王月芹.基于BP算法的函数逼近算法设计[J].广西轻工业学院.2008（05）69-70. [3] 李仁所,刘永平.由Fourier系数确定的函数类的最佳m-项单边逼近渐近估计[J].数学进展.2008（02）211-221. [4] 陈小平,赵鹤鸣,杨新艳.遗传前馈神经网络在函数逼近中的应用[J].计算机工程.2008（02）24-25+28. [5] 孙永生.函数逼近论[M].北京师范大学出版社. [6] 莫国端 刘开第.函数逼近论方法[M].北京科学出版社.2003. [7] 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组.高等代数 (第三版)[M].高等教育出版社.2003 | 
